Вопрос «сколько поверхностей имеет бумажный лист?» удивит многих. Ведь каждый здравомыслящий человек знает, что у листа две стороны – лицевая и оборотная. Тем не менее, если два противоположных края бумажного листа соединить между собой, взаимно повернув их при этом на 180°, то вы получите удивительный результат: обыкновенный двусторонний плоский лист превратится в замкнутую одностороннюю поверхность – так называемый лист (ленту, петлю) Мёбиуса.
Существование односторонних поверхностей было независимо и почти одновременно установлено немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом. В уникальности такого объекта легко убедиться. Для этого возьмите ручку или карандаш и, не отрывая стержня или грифеля от бумаги, просто проведите продольную непрерывную линию – пока она не достигнет исходной точки. Затем, убедившись, что линия есть, например, на «верхней» стороне листа, посмотрите на его «нижнюю» сторону – линия будет и там. Получается, что попасть из одной точки этого объекта в любую другую можно, не пересекая его края!
Иными словами, если двигаться вдоль по ленте Мёбиуса, не пересекая ее границ, то по ней, в отличие от двухсторонних поверхностей (например, сферы или цилиндра), можно попасть в исходное место, оказавшись в перевернутом положении по сравнению с первоначальным. Этот поразительный эффект тесно связан с неориентируемостью ленты Мёбиуса: если отметить на ней небольшую окружность с фиксированным направлением обхода и двигать ее вдоль ленты Мёбиуса, не пересекая границы, то можно прийти к начальному положению так, что направление обхода окружности изменится на противоположное.
Таким образом, лента Мёбиуса – это топологический (непрерывный) объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трехмерное Евклидово пространство. При этом в Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса – в зависимости от направления закручивания: правые и левые (хотя топологически они неразличимы).
Поскольку лента Мёбиуса ограничена всего лишь одной замкнутой линией, то при разрезании этой удивительной ленты по средней линии она не распадется на две части, а получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской». Если эту «дважды закрученную» ленту разрезать вдоль посередине, то образуются две ленты, намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть ее ширины, то получаются две ленты: одна – более короткая лента Мёбиуса, а другая – длинная лента с двумя полуоборотами («афганская лента»).
Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрезание ленты с дополнительными оборотами дает неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
С
тилизованный лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг физико-математической тематики «Библиотечка "Квант“», а также основного элемента международных кодов переработки – специальных знаков для обозначения материала, из которого изготовлен товар, и упрощения процесса сортировки перед его отправкой на переработку для вторичного использования (они есть на нижней либо тыльной стороне практически любого пластмассового изделия).
Существует мнение, что лента Мёбиуса стала основой символа бесконечности ∞. Однако это заблуждение: символ ∞ для обозначения бесконечности начали использовать еще за два столетия до открытия ленты Мёбиуса.
Удивительные свойства ленты Мёбиуса оценили инженеры и изобретатели, предложившие множество чрезвычайно эффективных технических решений. Так, одной из первых промышленных разработок с использованием ленты Мёбиуса стала ременная передача для передачи вращения между двумя валами, в том числе и расположенными под прямым углом друг к другу (патент Германии № 38782, 11 декабря 1885 г.).
Также были предложены шлифовальные ремни с поперечным сечением в виде правильных многоугольников (треугольника, квадрата, пяти-, шести- и т.д. -угольников). При изготовлении каждого из таких ремней перед соединением их в кольцо концы заготовки поворачивали на одну грань, тем самым в несколько раз увеличивая рабочую поверхность ремня. Однако такие ремни имели существенный недостаток – с увеличением количества граней уменьшалась их ширина, а значит, и производительность шлифования. Поэтому следующим шагом в этом направлении стало изобретение «звездчатого» шлифовального ремня (правда, традиционные шкивы при этом также пришлось несколько изменить).
Нашел использование «мёбиус» и в приборостроении: выполнив подвижную шкалу прибора в виде ленты Мёбиуса (при этом стрелка-указатель оставалась неподвижной), инженеры вдвое увеличили длину шкалы и этим повысили точность прибора.
В виде ленты Мёбиуса была изготовлена и ленточная пила (с режущими зубьями на «обоих краях» ленты). Также были предложены ленточные фильтр и конвейер, магнитофонная лента, лента для пишущей машинки, бритвенное лезвие, рыхлитель для грунта, мешалка для жидкостей, игрушечная железная дорога, различные головоломки и даже женский шарф.
…Существует легенда, согласно которой знаменитую ленту изобрел вовсе не Август Фердинанд Мёбиус, а его несколько рассеянная горничная, которая однажды неправильно пришила воротничок рубашки своего хозяина. Возможно, это и правда. Но, тем не менее, удивительная поверхность вошла в историю именно под именем Мёбиуса.
КСТАТИ
Другим примером односторонней поверхностью является бутылка Клейна – неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном. В отличие от обыкновенной бутылки у этого объекта нет края, где бы поверхность резко заканчивалась, т.е. у этого объекта нет «внутри» и «снаружи».