По данным из архива агентства LETA, Ринкевич родился в 1973 году в Юрмале.
Ринкевич окончил факультет истории и философии Латвийского университета (ЛУ), получил сертификат об изучении политических наук и международных отношений в Университете Гронингена (Нидерланды). Он имеет две степени магистра политических наук, полученные в ЛУ и в Промышленном колледже стратегии национальных ресурсов Университета национальной обороны (США).
В 1990-е годы Ринкевич был журналистом Латвийского радио, затем начал свою карьеру на различных должностях в Министерстве обороны, где с 1997 года более 10 лет занимал должность госсекретаря.
Также с 2002 по 2003 год Ринкевич был заместителем главы латвийской делегации на переговорах о вступлении в НАТО.
С октября 2008 года по июль 2011 года Ринкевич возглавлял канцелярию президента Валдаса Затлерса.
В 2011 году Ринкевич стал министром иностранных дел в правительстве Валдиса Домбровскиса. В начале 2012 года вступил в Партию реформ Затлерса.
Ринкевич сохранил пост министра иностранных дел в правительствах Лаймдоты Страуюмы, Мариса Кучинскиса и обоих правительствах Кришьяниса Кариньша.
Весной 2014 года Ринкевич вступил в партию «Единство». На выборах в 14-й Сейм 2022 года Ринкевич был избран в парламент по списку партийного объединения «Новое Единство».
Ринкевич является кавалером ордена Трех Звезд, кавалером Большого креста ордена Виестура, удостоен высоких наград НАТО и ряда зарубежных стран-союзников Латвии.